Родился 30 июля 1937 года в г. Омске.
Окончил Омский машиностроительный институт в 1959 году по специальности «Машины и обработка металлов давлением». Инженер-механик.
После окончания института по распределению был направлен на предприятие п/я 38 (в настоящее время ОАО «Омское машиностроительное конструкторское бюро»), где в течение 44-х лет прошёл весь профессиональный путь от рядового инженера до руководителя предприятия, выпускающего высокотехнологичную продукцию – агрегаты систем топливопитания и регулирования современных двигателей для самолётов и вертолётов, а также других летательных аппаратов различного назначения.
С октября 1959 по 1969 годы – инженер-экспериментатор, заместитель начальника испытательного цеха, начальник отдела надёжности; 1969-1980 годы – заместитель главного конструктора, первый заместитель главного конструктора; с 1980 по 1993 годы – главный конструктор, а с 1993 по 2003 годы – генеральный директор, главный конструктор ОАО «Омское машиностроительное конструкторское бюро».
Главным конструктором стал в то время, когда от руководителя и всего коллектива потребовалось решать новые сложные задачи, в первую очередь связанные с наращиванием объёмов разработок и производства, а также с переходом мирового и отечественного авиадвигателестроения к электронно-гидромеханическим системам управления двигателями. Его незыблемая уверенность в будущем предприятия, твёрдая стратегическая линия на сохранение авиационной тематики, продолжение НИОКР, формирование напряжённого плана производства, укрепление кадрового потенциала и многое другое стали залогом успеха ОМКБ на новом этапе развития.
Под его руководством и при непосредственном участии были разработаны системы топливопитания и регулирования двигателей и бортовых вспомогательных силовых установок для самолётов гражданской авиации Як-42, Бе-200, Ту-204, Ту-154, Ан-70, Ан-72, Ан-74, Ан-124 «Руслан», Ан-225 «Мрия», Ил-86, Ил-76, Ил-62М, вертолёта Ми-26, а также для ряда двигателей военных самолётов и летательных аппаратов специального назначения.
Внёс значительный вклад в осуществление региональной программы создания двигателя ТВД-20 для самолёта Ан-3. Реализация этого проекта на рубеже веков позволила организовать производство на омских предприятиях конкурентоспособного многоцелевого самолёта, имеющего высокие лётно-технические характеристики.
Является автором ряда изобретений и полезных моделей, направленных на усовершенствование гидромеханической части разрабатываемых топливных систем, а также создание продукции промышленного назначения. Так, например, изобретение «Регулятор подачи топлива в газотурбинный двигатель» относится к области автоматического регулирования подачи топлива в газотурбинный двигатель вспомогательной силовой установки летательного аппарата и позволило создать конструкцию топливного регулятора, обеспечившего снижение давления топлива при авторотации двигателя в полёте, за счёт чего достигнуто повышение ресурса и надёжности работы двигателя ТА-12. Указанный двигатель успешно эксплуатируется на самолётах Ан-74Т, Ан-124 «Руслан», Ту-95МС, Ту-142МР, Ту-154, Ту-160, Ту-204, Ил-76.
В ряду других изобретений и полезных моделей: «Радиально-плунжерная пневмогидромашина переменной производительности», на основе которой создана пневмогидромашина с автоматическим бесступенчатым изменением рабочего объёма от нулевой до максимальной производительности при постоянном давлении, обладающая большим ресурсом, малой массой и габаритами; «Мембранный насос», отличающийся более высокой надёжностью при сохранении малых габаритов и массы и обеспечении той же производительности, как у известных аналогов; «Радиально-плунжерная машина с клапанным распределением» позволила создать долговечный насосный агрегат, который по сравнению с подобными изделиями (аналогичных входных параметров и назначения) зарубежных и отечественных производителей имеет в 5-7 раз меньшую массу.
За изобретательскую деятельность награждён почётным знаком «Изобретатель СССР».
Предприятие, руководимое А. А. Кульковым, не только удержало и развило свои позиции в агрегатостроении, но и сумело создать и освоить выпуск изделий для других отраслей народного хозяйства. Среди них – цех-автомат с лукоочистительными машинами для консервного завода; специальные гидроинструменты по заказу ОНПЗ и железной дороги: ручные плунжерные насосы, ударные гайковерты, съёмники, цилиндры-подъёмники, стяжки, переносные прессы с усилием от 10 до 50 тонн, путевой домкрат; гамма герметичных электроприводных насосов для коммунального хозяйства и многое другое.
В годы его руководства предприятие сохранило и преумножило свой производственный и кадровый потенциал, что стало прочной основой для дальнейшего развития. Добилось международного признания, в частности, удостоено международных призов: «За качество» и «Платиновая звезда» в номинации «Разработка и производство систем управления ГДТ», а также награждено призом «Предприятие года-2000» с вручением соответствующего сертификата его руководителю.
Для обмена опытом и налаживания деловых контактов с российскими и зарубежными партнёрами постоянно участвовал в выставочной работе международных авиакосмических салонов, международных салонов «Двигатели», в отраслевых и региональных выставках.
За долголетний и безупречный труд, преданность делу авиации Андрей Александрович награждён орденами «Знак Почёта» и Трудового Красного Знамени, медалями «За доблестный труд. В ознаменование 100-летия со дня рождения В.И. Ленина», «Ветеран труда», знаком «Отличник качества МАП» Министерства авиационной промышленности.
Кульков Андрей Александрович // Омские инженеры. Дела и судьбы / [Редкол.: Ю. В. Кривошеин и др.]. — Омск : Русь, 2012. — 163, [1] с. : ил., портр. —
С. 80-81.